Stima di modelli state-space Poisson mediante Assumed Density Filtering

The aim of this thesis is to investigate and implement two estimation methods for non-linear state-space models, considering the specific case of count data modelled using Poisson distribution. To this end, two approaches based on the Assumed Density Filtering (ADF) framework are proposed and discussed. Firstly, a filtering algorithm based on ADF is formulated and implemented, in which the projection phase is calculated using a Laplace approximation, with parameters estimated using Newton-Raphson. Secondly, an algorithm based on variational inference methods is explained and implemented. The latter case does not correspond to an exact estimate of ADF, but can be interpreted as a variant of it, which retains its general structure but modifies the projection criterion. Finally, an application of the developed methods to a real ecological phenomenon is proposed. In particular, it is of interest to analyse the data collected from the census of the breeding population of waterbird colonies in northern Italy, which has been conducted annually for about fifty years and which records the size of the population by counting the number of nests in certain locations. The aim of the analysis is therefore to assess how climate and anthropogenic changes have affected bird populations over time in the different areas considered. The methods presented are particularly appropriate for answering this question, as they allow effects that evolve dynamically over time to be modelled using count data.

L’obiettivo di questa tesi è approfondire e implementare due metodi di stima per modelli state-space non lineari, considerando il caso specifico dei dati di conteggio, modellati tramite distribuzione di Poisson. A tal fine vengono proposti e discussi due approcci basati sul framework dell’Assumed Density Filtering(ADF). In primo luogo, viene formulato e implementato un algoritmo di filtering basato sull’ADF in cui la fase di proiezione è calcolata utilizzando un’approssimazione di Laplace, avente parametri stimati tramite Newton-Rhapson. In secondo luogo, viene esplicitato e implementato un algoritmo basato su metodi di inferenza variazionale. Quest’ultimo caso non corrisponde a una stima esatta dell’ADF, ma bensı̀ è interpretabile come una sua variante, che ne conserva la struttura generale ma modifica il criterio di proiezione. Infine, viene proposta una applicazione dei metodi sviluppati a un fenomeno ecologico reale. In particolare, è d’interesse analizzare i dati raccolti dal censimento della popolazione riproduttiva delle colonie di uccelli acquatici nel nord-italia, attivo annualmente da circa cinquant’anni, il quale rileva la numerosità della popolazione attraverso il conteggio dei nidi in determinate località. L’obiettivo dell’analisi è dunque valutare come i cambiamenti climatici e antropici abbiano influenzato nel tempo la popolazione di volatili nelle diverse zone considerate. Per rispondere a questo quesito, i metodi presentati risultano particolarmente appropriati, perchè permettono di modellare effetti che evolvono dinamicamente nel tempo, avendo dei dati di conteggio.