Configurazioni geometriche della statistica test rapporto di verosimiglianza profilo

The profile likelihood ratio (PLR) is the standard test statistic for frequentist inference in high-energy physics, where Wilks’ theorem is commonly invoked to justify a χ² asymptotic distribution. In the context of the Standard Model Effective Field Theory (SMEFT), however, this assumption is often violated due to the intrinsic non-linearity of the signal model and the presence of physical constraints enforcing non-negative cross sections. In this thesis, we develop a unified geometric framework for analysing the asymptotic behaviour of the PLR in SMEFT models with linear–quadratic dependence on a single Wilson coefficient. After a whitening transformation and sufficient reduction, the inference problem is shown to reduce to the projection of a two-dimensional Gaussian random vector onto a one-dimensional quadratic manifold, subject to a constrained parameter domain. The global geometry of this projection problem fully determines the distribution of the PLR. We introduce a dimensionless curvature parameter that quantifies the relative strength of quadratic effects and governs the global injectivity of the projection map. Based on this parameter, we identify three universal asymptotic regimes: a linear regime in which Wilks’ theorem is recovered; an intermediate folded regime characterised by global non-injectivity and effective variance compression; and a singular regime in which the model manifold collapses onto a convex cone, yielding a Chernoff-type mixture distribution. These regimes are shown to arise from topological transitions in the constrained projection geometry rather than from local curvature effects alone. While the exact PLR distribution is defined implicitly through a cubic projection equation, its direct use is impractical for large-scale analyses. To address this, we propose a moment-based scaled-χ² approximation that provides a compact and interpretable summary of the underlying geometric complexity. Simulation studies validate the proposed framework, demonstrating accurate coverage, clear regime separation, and computational scalability to high-dimensional SMEFT fits through a reduction to an effective one-dimensional inference problem. This work provides a geometric and statistical foundation for understanding the breakdown of classical asymptotics in SMEFT inference and offers a practical diagnostic and approximation strategy for likelihood-based tests in constrained, non-linear models.

Il rapporto di verosimiglianza profilata (profile likelihood ratio, PLR) è la statistica di test standard per l’inferenza frequentista nella fisica delle alte energie, dove il teorema di Wilks viene comunemente invocato per giustificarne una distribuzione asintotica di tipo χ². Nel contesto della Standard Model Effective Field Theory (SMEFT), tuttavia, tale assunzione è spesso violata a causa della non linearità intrinseca del modello di segnale e della presenza di vincoli fisici che impongono la non negatività delle sezioni d’urto. In questa tesi sviluppiamo un quadro geometrico unificato per l’analisi del comportamento asintotico del PLR in modelli SMEFT con dipendenza lineare–quadratica da un singolo coefficiente di Wilson. Dopo una trasformazione di whitening e una riduzione sufficiente, il problema inferenziale si riconduce alla proiezione di un vettore gaussiano bidimensionale su una varietà quadratica unidimensionale, soggetta a un dominio parametrico vincolato. La geometria globale di questo problema di proiezione determina completamente la distribuzione del PLR. Introduciamo un parametro di curvatura adimensionale che quantifica l’importanza relativa dei termini quadratici e governa l’iniettività globale della mappa di proiezione. In funzione di tale parametro identifichiamo tre regimi asintotici universali: un regime lineare in cui si recupera il teorema di Wilks; un regime intermedio di tipo “folded”, caratterizzato da non iniettività globale e da una compressione effettiva della varianza; e un regime singolare in cui la varietà del modello collassa in un cono convesso, dando luogo a una distribuzione mista di tipo Chernoff. Mostriamo che tali regimi emergono da transizioni topologiche nella geometria della proiezione vincolata, piuttosto che da effetti puramente locali di curvatura. Sebbene la distribuzione esatta del PLR sia definita implicitamente tramite un’equazione cubica di proiezione, il suo utilizzo diretto risulta impraticabile per analisi su larga scala. A questo scopo proponiamo un’approssimazione di tipo χ² scalata, basata sul matching dei momenti, che fornisce un riassunto compatto e interpretabile della complessità geometrica sottostante. Studi di simulazione validano il quadro proposto, dimostrando una corretta copertura, una chiara separazione dei regimi e una scalabilità computazionale agli adattamenti SMEFT ad alta dimensionalità, ottenuta mediante la riduzione del problema inferenziale a una densità efficace unidimensionale. Questo lavoro fornisce una base geometrica e statistica per comprendere il fallimento delle asintotiche classiche nell’inferenza SMEFT e propone una strategia diagnostica e approssimativa praticabile per test di verosimiglianza in modelli non lineari e vincolati.