Some recent results on Frobenius-type theorems for k-currents

The Frobenius theorem is one of the best-known results in differential geometry. In a classical context it is stated as follows: a smooth distribution is integrable if and only if it is involutive. In other words, a k-dimensional submanifold in R^n is tangent to a distribution of k-planes if and only if the distribution is involutive. At this point, it is natural to ask whether an analogous result holds for weaker notions of submanifolds. Our goal is to enter into this discussion by investigating the properties of normal and integral k-currents, which can be seen as generalizations of the notion of submanifold. Specifically, it was proved by Annalisa Massaccesi that such a Frobenius-type theorem holds for integral currents. On the other hand, a similar result cannot be obtained for normal currents in its full generality. We will see that Frobenius theorem holds for normal currents if some extra requirements are fulfilled. This approach follows more recent research by Alberti, Massaccesi and Stepanov. This discussion allows us to investigate a specific geometric property of the boundary of a current: namely, that the span of the vectorfield defining the boundary of a normal current is almost everywhere contained in the distribution of k-planes. We will show that for a normal current tangent to the distribution this property is strictly connected to the involutivity of the distribution itself.

Il teorema di Frobenius è uno dei risultati più noti della geometria differenziale. In un contesto classico, esso è enunciato come segue: una distribuzione liscia è integrabile se e solo se è involutiva. In altre parole, una sottovarietà k-dimensionale in R^n è tangente a una distribuzione di k-piani se e solo se la distribuzione è involutiva. A questo punto, è naturale chiedersi se un risultato analogo valga per nozioni più deboli di sottovarietà. Il nostro obiettivo è quello di introdurci in questa discussione studiando le proprietà delle k-correnti normali e integrali, che possono essere viste come generalizzazioni della nozione di sottovarietà. In particolare, Annalisa Massaccesi ha dimostrato che un teorema di tipo Frobenius vale anche per le correnti integrali. D'altra parte, un risultato simile non può essere ottenuto per le correnti normali nella sua piena generalità. Vedremo che il teorema di Frobenius vale per le correnti normali se vengono soddisfatti alcuni requisiti aggiuntivi. Questo approccio segue ricerche più recenti di Alberti, Massaccesi e Stepanov. Questa discussione ci permette di studiare una specifica proprietà geometrica del bordo di una corrente: ovvero che lo spazio generato dal campo vettoriale che definisce il bordo di una corrente normale è quasi ovunque contenuto nella distribuzione dei k-piani. Dimostreremo che per una corrente normale tangente alla distribuzione questa proprietà è strettamente connessa all'involutività della distribuzione stessa.