Ornstein-Uhlenbeck theory in finite dimension

The purpose of this thesis is to study Ornstein-Uhlenbeck theory in finite dimensions. Lebesgue measure will be completely replaced by Gaussian measure. In chapter 1 will be discussed the definitions and the main properties of: Hermite polynomials, Ornstein-Uhlenbeck operator and its semigroup. It will turn out that Hermite polynomials form an orthogonal system with respect to the Gaussian measure in Euclidean space and that they are eigenfunctions of the ORnstein-Uhlenbeck operator. An explicit kernel is derived for the semigroup, known as the Mehler kernel. In chapter 2 will be studied the behavior of the semigroup as t tends to zero. This is done by introducing a maximal operator for the semigroup and proving that it is of weak type (1,1). In chapter 3 will be discussed the maximal operator of a general Ornstein-Uhlenbeck semigroup.

La tesi si propone di studiare la teoria di Ornstein-Uhlenbeck in dimensione finita. Si sostituirà completamente la misura di Lebesgue con la misura Gaussiana e nel capitolo 1 si studieranno le definizioni e le proprietà principali delle basi della teoria: Polinomi di Hermite, Operatore di Ornstein-Uhlenbeck ed il suo semigruppo. Si scoprirà che i polinomi di Hermite formano un sistema ortogonale rispetto alla misura Gaussiana nello spazio euclideo e che sono autofunzioni dell'operatore di Ornstein-Uhlenebeck. Si troverà un kernel esplicito per il semigruppo, il noto kernel di Mehler. Nel capitolo 2 si studierà il comportamento del semigruppo per t che tende a 0 introducendo un operatore massimale per il semigruppo e dimostrando che è "weak type (1,1)". Nel capitolo 3 si studierà l'operatore massimale di un semigruppo di Ornstein-Uhlenbeck generale.