Oltre lo spazio vettoriale: i modelli MAR bilineari e additivi come estensione della specificazione VAR

The increasing availability of high-dimensional data poses new challenges for multivariate time-series analysis, particularly in terms of parameter complexity, estimation stability, and the ability to preserve the original structure of the data. Within this framework, this thesis investigates Matrix Autoregressive (MAR) models as structured alternatives to traditional Vector Autoregressive (VAR) models, with the aim of examining the role of matrix representations in modelling multidimensional dynamic systems. After introducing the VAR framework as the theoretical benchmark, two different matrix autoregressive specifications are considered: the Bilinear MAR and the Additive MAR. For both models, the thesis examines their mathematical structure, stability and stationarity properties, identifiability conditions, and estimation procedures, highlighting their relationship with the VAR representation and the different restrictions imposed on the transition matrix. The theoretical comparison therefore provides a framework for interpreting MAR models as parsimonious specifications that explicitly preserve the two-dimensional organisation of the observations. The comparison among the three specifications is subsequently developed through a Monte Carlo simulation study based on different data-generating processes, persistence levels, and sample sizes. The analysis examines model behaviour under both correct specification and structural misspecification, considering estimation accuracy, out-of-sample predictive performance, and numerical stability and convergence. Finally, the analysis is extended to an empirical application based on a system of macroeconomic indicators observed across multiple countries and organised according to a matrix structure. The application investigates the alternative representations in terms of model specification, forecasting, and interpretation of dynamic interdependencies, complemented by residual diagnostics, Granger causality analysis, impulse response functions, and forecast error variance decomposition. Overall, the thesis provides a theoretical, simulation-based, and empirical investigation of the relationship between vector and matrix autoregressive representations, focusing on the trade-off between parameter flexibility, parsimony, and the ability to represent the structure of dependencies in high-dimensional dynamic systems.

La crescente disponibilità di dati ad alta dimensionalità pone nuove sfide nell’analisi delle serie storiche multivariate, in particolare per quanto riguarda la complessità parametrica, la stabilità delle stime e la capacità di preservare la struttura originaria dei dati. In questo contesto, la presente tesi analizza i modelli Matriciali Autoregressivi (MAR) come alternativa strutturata ai tradizionali modelli Vettoriali Autoregressivi (VAR), con l’obiettivo di approfondire il ruolo della rappresentazione matriciale nella modellazione di sistemi dinamici multidimensionali. Dopo aver introdotto il framework VAR come riferimento teorico, vengono analizzate due differenti specificazioni matriciali: il modello MAR Bilineare e il modello MAR Additivo. Per entrambe vengono approfondite la struttura matematica, le proprietà di stabilità e stazionarietà, le condizioni di identificabilità e le procedure di stima, evidenziandone il legame con la rappresentazione VAR e le differenti restrizioni imposte alla matrice di transizione. Il confronto teorico consente così di interpretare i modelli MAR come formulazioni parsimoniose che preservano esplicitamente l’organizzazione bidimensionale delle osservazioni. Il confronto tra le tre specificazioni viene successivamente sviluppato attraverso uno studio di simulazione Monte Carlo, costruito considerando differenti processi generatori dei dati, livelli di persistenza e dimensioni campionarie. L’analisi esamina il comportamento dei modelli sia in condizioni di corretta specificazione sia in presenza di misspecificazione strutturale, valutandone la precisione di stima, la capacità predittiva out-of-sample e gli aspetti di stabilità e convergenza numerica. Infine, l’analisi viene estesa a un’applicazione empirica basata su un sistema di indicatori macroeconomici osservati su più paesi e organizzati secondo una struttura matriciale. L’applicazione permette di studiare le diverse rappresentazioni sotto il profilo della specificazione, della previsione e dell’interpretazione delle interdipendenze dinamiche, integrando l’analisi con strumenti di diagnostica, causalità di Granger, funzioni di risposta agli impulsi e decomposizione della varianza dell’errore di previsione. Nel complesso, il lavoro propone un’analisi teorica, simulativa ed empirica del rapporto tra rappresentazioni vettoriali e matriciali, ponendo al centro il compromesso tra flessibilità parametrica, parsimonia e capacità di rappresentare la struttura delle dipendenze nei sistemi dinamici ad alta dimensionalità.