Metodi di PDE geometriche per problemi isoperimetrici su superfici riemanniane

The heart of this thesis lies in the realm of geometric analysis, more precisely in the study of isoperimetric problems. The oldest such problem consists in finding, among simple closed plane curves of fixed length, the one enclosing the maximum area. The solution is given by the circle, as expressed more precisely by the classical Euclidean isoperimetric inequality, which is saturated precisely by circles. We can generalize the problem to a Riemannian surface by asking whether a corresponding isoperimetric inequality can be found, relating the length of simple closed curves on the surface, the area of the regions they enclose, and possibly other geometric quantities that encode information about the curvature of the surface. The technique we use is that of geometric curvature flows, through which we obtain geometric information by letting curves evolve on the Riemannian surface. In particular, we focus on the curve shortening flow. Another tool we use extensively is the Gauss--Bonnet theorem, for which we are able to give a proof by a simple divergence argument applied between level sets of harmonic functions, combined with a result by Adamowicz and Veronelli. Using these tools, under suitable geometric assumptions on the enclosed domain and on the geometry of the surface, we present an isoperimetric inequality due to Topping. Furthermore, we characterize its equality case, showing that the evolving curves define a local foliation and induce adapted coordinates in which the metric admits a warped product structure. Under further assumptions on the curvature of the surface, we also recover the isoperimetric inequality with the same sharp Euclidean constant 4π and discuss the rigidity associated with the equality case in this setting, obtaining a characterization of domains isometric to closed Euclidean disks.

Nel cuore di questa tesi studiamo il problema isoperimetrico dal punto di vista dell’analisi geometrica. Il più antico problema isoperimetrico consiste nel trovare, tra le curve piane semplici e chiuse di data lunghezza, quella che racchiuda l’area massima. La soluzione è data dal cerchio, come descritto più precisamente dalla classica disuguaglianza isoperimetrica euclidea, la cui uguaglianza caratterizza i cerchi. Possiamo generalizzare il problema alle superfici Riemanniane, chiedendoci se sia possibile stabilire una corrispondente disuguaglianza isoperimetrica, che metta in relazione la lunghezza di curve semplici e chiuse sulla superficie, l’area delle regioni da esse racchiuse e, possibilmente, altre quantità geometriche che codifichino la curvatura della superficie. La tecnica che utilizziamo è quella dei flussi per curvatura, per cui acquisiamo informazioni geometriche facendo evolvere curve sulla superficie Riemanniana. In particolare, ci concentriamo sul curve shortening flow. Un altro strumento che utilizziamo ampiamente è il teorema di Gauss--Bonnet, del quale siamo in grado di fornire una dimostrazione basata su un semplice argomento di divergenza tra insiemi di livello di funzioni armoniche, combinato con un risultato di Adamowicz e Veronelli. Queste tecniche, sotto opportune restrizioni geometriche sul dominio racchiuso e sulla geometria della superficie, ci permettono di presentare una disuguaglianza isoperimetrica dovuta a Topping. Inoltre, caratterizziamo il caso dell’uguaglianza, mostrando che le curve evolventi definiscono una foliazione locale e inducono coordinate adattate in cui la metrica ammette una struttura di warped product. Sotto ulteriori ipotesi sulla curvatura della superficie, riusciamo a recuperare la disuguaglianza isoperimetrica con la stessa costante ottimale euclidea 4π e a discutere la rigidità associata al caso di uguaglianza, ottenendo una caratterizzazione di domini isometrici a dischi euclidei chiusi.