Il metodo delle rappresentazioni integrali negli spazi di Schauder per le equazioni di Maxwell in domini a connessione multipla

L’ambito di ricerca del lavoro di tesi è lo studio delle equazioni di di Helmortz e di Maxwell con il metodo delle rappresentazioni integrali. Il primo obiettivo del lavoro è studiare l’esistenza e l’unicità delle soluzioni per l’equazione di Helmortz e di Maxwell all’interno e all’esterno di domini fissato un dato al bordo in domini a connessione multipla e nell’ambito degli spazi di Schauder migliorando i risultati classici presenti in letteratura. Per prima cosa scriviamo le soluzioni come somme di potenziali le cui densita’ risolvono delle equazioni integrali i cui dati sono quelli del problema al contorno analizzato. Qui si prestera’ particolare attenzione al caso di domini in cui l’esterno abbia connessione multipla. Per analizzare la risolubilita’ delle equazioni integrali sono noti dei risultati di continuita’ e compattezza. Nella tesi si prevede di migliorarli, cominciando col trattare il caso in cui la frontiera e’ di classe C^{1, α}. Piu’ precisamente si vogliono provare quei risultati che permetteranno poi di passare a studiare problemi di perturbazione singolare con metodi di tipo funzionale analitico come illustrato nella monografia: Dalla Riva M., Lanza de Cristoforis M. and Musolino P. Singularly Perturbed Boundary Value Problems. A Functional Analytic Approach, Springer, Cham, xvi, 672 p., 2021.