Sistemi dinamici lineari per la modellizzazione dell'eccitabilità in reti di neuroni

This thesis has the scope to investigate neuron behaviour from a dynamic system point of view. Starting from the neuron models existing in the literature, that are typically complex and non-linear, we present different techniques for their analysis. We present various methodologies that permit the study of the transient behaviour of these systems beyond a pure stability analysis, in such a way to understand why excitable behaviours and oscillator phenomena can occur. Finally, we also present a global linearisation method based on the Koopman operator. This technique permits the analysis of complex non-linear neuron models from a linear perspective. In this domain it seems to exist a relation between the non-normality, a mathematical property of the linear system matrix, and the characterization of the excitability, a biological qualitative property, that is fundamental in the definition of the neuron from a functional point of view. This result helps in giving a more precise characterization of this fleeing concept.

Questa tesi ha come obbiettivo quello di studiare il comportamento del neurone da un punto di vista della teoria dei sistemi dinamici. In letteratura è possibile trovare numerosi modelli che descrivono il funzionamento del neurone, però sono complessi e non-lineari. In questo elaborato presenteremo diversi metodi di analisi applicabili a questa tipologia di modelli. Questi metodi sono strumenti utili per lo studio, non solo della stabilità, ma anche di fenomeni più complessi come evoluzioni transitorie e fenomeni oscillatori. Successivamente presenteremo una tecnica di linearizzazione globale basata sul Koopman operator, tramite questo strumento, un complesso modello non-lineare può essere analizzato con le tecniche della teoria dei sistemi lineari. Da questo studio si vedrà come sia naturale pensare che esista una relazione tra la non-normalità, una proprietà matematica di una matrice associata ad un sistema lineare, e l’eccitabilità, una proprietà biologica qualitativa, che è fondamentale per la definizione del neurone da un punto di vista del funzionamento. In questo modo cercheremo di dare una caratterizzazione più precisa a questo sfuggente concetto.