Finite-size effects in the BCS-BEC crossover

The study of the BCS-BEC crossover is one of the most interesting topics in condensed matter theory of the last 20 years. In this work, we aim to extend the analysis of the crossover BCS-BEC in presence of finite-size effects in 2D. In detail, we will derive equations, such as the Number and the Gap equations, and quantities, such as the condensed fraction and the superfluid density, that are mainly characterizing this framework. We will start with a Mean Field level analysis, but Gaussian corrections will be next taken into account in order to obtain better results. Furthermore, we will introduce the Berezinskii-Kosterlitz-Thouless phase transition, thanks to which a 2D bosonic system is able to reach a quasi-condensate phase. In the last chapter an analysis involving the study of a set of Renormalized Group equations will be performed to investigate this phenomenon.

Lo studio del crossover BCS-BEC è stato di grande interesse per il mondo scientifico negli ultimi 20 anni. In questo elaborato si propone un'estensione dello studio del crossover BCS-BEC nel caso di dimensione finita del sistema in due dimensioni. In particolare verranno derivate relazioni, come la Gap equation e la Number equation, e quantità, come la densità superfluida e la frazione condensata, tipiche di questo argomento. Lo studio inizialmente sarà a livello Mean Field, ma correzioni gaussiane verranno successivamente prese in considerazione per una maggiore precisione dei risultati. Verrà successivamente introdotta la transizione di fase di Berezinskii-Kosterlitz-Thouless, che descrive come un sistema 2D bosonico possa raggiungere una fase di quasi-condensazione. Nell'ultimo capitolo questo fenomeno verrà analizzato anche attraverso un sistema di due equazioni del Gruppo di Rinormalizzazione che ben descrivono l'oggetto di interesse.