Rectifiability of Sets of Finite Perimeter in Carnot Groups

The purpose of the thesis is the study of rectifiability properties of sets of finite perimeter in Carnot groups. Specifically, we investigate whether De Giorgi's rectifiability theorem holds in this ambient space. Although this still represents an open problem, there are partial results. In the thesis we prove the currently known result closest to solve the question, which states that at almost every point of the reduced boundary of a set of locally finite perimeter, among all possible tangent sets, there is at least one that is a half-space.

L’obiettivo della tesi è lo studio delle proprietà di rettificabilità degli insiemi di perimetro finito nei gruppi di Carnot. In particolare, ci si interroga se il teorema di rettificabilità di De Giorgi sia valido anche in tale spazio ambiente. Sebbene questo rappresenti ancora un problema aperto, esistono risultati parziali. Nella tesi viene dimostrato il risultato attualmente noto più vicino alla risoluzione della questione, che afferma che, in quasi ogni punto della frontiera ridotta di un insieme di perimetro localmente finito, tra tutti gli eventuali insiemi tangenti, ve n’è almeno uno che è un semispazio.