Ottimizzazione dinamica con funzioni valore non differenziabili

After a review of fundamental dynamic programming concepts, with particular attention to the theorem relating to the Hamilton-Jacobi-Bellman equation, the main topic of the thesis will be presented: a dynamic optimization problem in which the value function is non-smooth. The goal of the thesis is to develop a new theorem on the sufficient conditions for the value function. To do so, the main tools of non-smooth analysis will be introduced, namely the generalized directional derivative and the generalized gradient. These notions will provide the theoretical foundation necessary to understand the proof of the theorem.

Dopo un richiamo ai concetti fondamentali di programmazione dinamica, con particolare attenzione al teorema relativo all'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman, verrà proposto il tema principale della tesi: un problema di ottimizzazione dinamica in cui la funzione valore non è liscia. L'obiettivo della tesi è di sviluppare un nuovo teorema sulle condizioni sufficienti per la funzione valore. Per fare ciò, verranno presentati i principali strumenti dell'analisi non liscia, ovvero la derivata direzionale generalizzata e il gradiente generalizzato. Queste nozioni forniranno la base teorica necessaria per comprendere la dimostrazione del teorema. Verrà mostrato come un problema di controllo ottimo è un caso particolare di un problema di inclusione differenziale. Verrà discussa l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman nella sua formulazione per inclusioni differenziali e le condizioni sufficienti per la funzione valore. Verrà introdotta l'equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman generalizzata e il corrispondente teorema sulle condizioni sufficienti generalizzate per la funzione valore. Il teorema verrà poi riformulato per il problema di controllo ottimo e mostrato infine la sua utilità.