Zeri delle funzioni analitiche e formule del prodotto

This work deals with the zeros of analytic functions, starting from the fundamentals of complex analysis and leading up to product representations. The main properties of the zeros of analytic functions are stated and discussed, with a detailed analysis of their counting and distribution. To this end, Rouché's theorem and Jensen's theorem are treated, along with their respective proofs. Subsequently, the thesis discusses product representations. The analysis begins with convergence criteria, followed by a classical example: Euler’s formula. Finally, Mittag–Leffler’s theorem and Weierstrass factorization are presented, which allow the construction of a meromorphic function and an entire function, respectively, from a prescribed set of poles and zeros.

L’elaborato tratta gli zeri delle funzioni analitiche, partendo dai richiami di analisi complessa fino ad arrivare alle formule di prodotto. Vengono enunciate e discusse le principali proprietà degli zeri delle funzioni analitiche, con un’analisi approfondita sul loro conteggio e sulla loro distribuzione: a questo scopo vengono trattati, rispettivamente, il teorema di Rouché e il teorema di Jensen, corredati delle relative dimostrazioni. Successivamente, nella tesi vengono discusse le formule di prodotto. Si inizia analizzandone i criteri di convergenza e, a seguire, viene fornito un esempio classico: la formula di Eulero. Infine, viene trattato il teorema di Mittag–Leffler e la fattorizzazione di Weierstrass, che permettono di costruire rispettivamente una funzione meromorfa e una funzione intera a partire dai poli e dagli zeri prefissati.