Processi di ramificazione: teoria e applicazioni

This thesis explores branching processes, focusing in particular on the Galton-Watson process. After a formal definition and an overview of its fundamental properties, the analysis turns to the extinction probability, providing both theoretical context and detailed proofs of the main results. The second part examines the population size over time, with special attention to expected value estimates and Chernoff bounds. The third part focuses on the study of the supercritical regime and on the Kesten–Stigum theorem. After presenting a convergence result for the normalized population, the theorem is introduced together with the tools required for its proof, which rely on the size-biased change of measure and on the martingale properties of the process. The chapter concludes with the complete proof of the theorem.

La tesi approfondisce i processi di ramificazione, con particolare riferimento al processo di Galton-Watson. Dopo una definizione formale e l’analisi delle sue proprietà fondamentali, si affronta lo studio della probabilità di estinzione, fornendo sia un inquadramento teorico sia la dimostrazione dettagliata dei risultati principali. Nella seconda parte si analizza la taglia della popolazione nel tempo, con particolare attenzione alla stima della media e alle disuguaglianze di Chernoff. La terza parte è dedicata allo studio del regime supercritico e al teorema di Kesten–Stigum. Dopo aver presentato un risultato di convergenza per la popolazione normalizzata, si introduce il teorema e gli strumenti necessari alla sua dimostrazione, basati sul cambio di misura size-biased e sulle proprietà martingala del processo. Il capitolo si conclude con la dimostrazione completa del teorema.