Varietà Riemanniane e Curvatura

In questa tesi approfondiremo la teoria delle varietà di Riemann e i principali strumenti matematici utilizzati per studiarle. Il filo conduttore sarà il concetto di curvatura e le sue applicazioni. Introdurremo innanzitutto le nozioni fondamentali necessarie, a partire dalla metrica Riemanniana e dalle connessioni, per poi focalizzarci in particolare sulla connessione di Levi-Civita, mostrando come sia la scelta naturale nel nostro contesto. A seguire, ci concentreremo sulla curvatura. Ne analizzeremo la definizione e le proprietà fondamentali, per poi studiarne le principali forme parziali derivate da essa, quali la curvatura di Ricci, la curvatura scalare e il tensore di Weyl. Successivamente ci dedicheremo a certe sue applicazioni nelle varietà Riemanniane immerse, così da fornire alla curvatura un’interpretazione più geometrica. L’obiettivo finale del lavoro è presentare due teoremi fondamentali. Il primo è il Theorema Egregium che mette in relazione la curvatura intrinseca con la curvatura di Gauss K. Il secondo è il Teorema di Killing–Hopf con il quale vedremo come, sotto precise ipotesi, ogni varietà di Riemann possa essere ricondotta a tre modelli geometrici fondamentali: lo spazio euclideo Rn, la sfera Sn(R) e lo spazio iperbolico Hn(R).