Basi matematiche del calcolo quantistico

In questa tesi si vuole introdurre il formalismo e la struttura matematica della computazione quantistica, mostrando anche quali siano le basi fisiche su cui essi poggiano. Si dice qubit la più piccola unità di informazione, esso è l’analogo del bit nella computazione classica e possiede una natura intrinsecamente quantistica, il che permette di implementare operazioni in sistemi di dimensione ridotta. L’obbiettivo di questo lavoro è presentare la realtà quantistica per poi giungere alle basi computazionali quantistiche. Il primo capitolo è di tipo nozionistico e introduce una serie di definizioni e risultati matematici utili per i capitoli seguenti, tra cui gli spazi di Hilbert, la notazione bra-ket di Dirac e il prodotto tensoriale. Il secondo e il terzo capitolo sono invece di fisica. Partendo da alcune nozioni sulle onde nella f isica classica, si introducono alcuni concetti fondamentali della meccanica quantistica, come il dualismo onda-particella, il principio di sovrapposizione e l’equazione di Schrödinger. Questi temi sono presentati attraverso l’esperimento fisico di Young e altre nozioni di meccanica. una buona parte del terzo capitolo è dedicata a mostrare, sulla base dalle considerazioni fisiche e sperimentali, perché alcune postulazioni matematiche siano intuitivamente le più naturali per la modellizzazione dei sistemi quantistici. Ciò costituisce un ponte fondamentale per passare dal mondo fisico al formalismo più astratto della computazione. Nello specifico, si trattano spazi di Hilbert di stati quantistici, operatori unitari di evoluzione degli stati, operatori autoaggiunti per la misurazione e probabilità di misura. Infine, nell’ultimo capitolo vengono presentate le basi della computazione quantistica. Dopo aver definito e studiato geometricamente il quantum bit, o "qubit", l’unità fondamentale dell’in formazione quantistica, si presenta l’esperimento di Stern-Gerlach, che è un esempio naturale per introdurre il formalismo dei qubit, in quanto tratta uno stato quantistico 2-dimensionale. Poi, si espongono le porte logiche che agiscono su un singolo qubit in input, correlando alcuni esempi fondamentali. In conclusione, si presentano i sistemi composti da più qubit, evidenziando come essi abbiano una struttura non banale, per via della natura quantistica meno immediata di quella classica. Da ultimo, vengono trattate anche le porte logiche che prendono in input più qubit.