Esperimenti numerici sulla esattezza della quadratura nell'iperinterpolazione

Hyperinterpolation is a numerical approximation technique that constructs a polynomial of degree based on quadrature formulas (with positive weights) that are exact up to degree 2n. This thesis studies the role of quadrature exactness in polynomial hyperinterpolation and the influence of weak Marcinkiewicz-Zygmund constants on the quality of approximation. After an introductory theoretical part, Gaussian, Fejér, and Clenshaw-Curtis quadrature formulas are analyzed and compared. Numerical tests on the interval and the square show that Fejér and Clenshaw-Curtis formulas have better stability properties than Gaussian ones, and that the least-squares approach based on the Gram matrix is often more accurate than relaxed hyperinterpolation.

L’iperinterpolazione è una tecnica di approssimazione numerica che costruisce un polinomio di grado a partire da formule di quadratura (con pesi positivi) esatte fino al grado 2n. Questa tesi studia il ruolo dell’esattezza della quadratura nell’iperinterpolazione polinomiale e l’influenza delle costanti deboli di Marcinkiewicz-Zygmund sulla qualità dell’approssimazione. Dopo una parte teorica introduttiva, vengono analizzate e confrontate formule di quadratura gaussiane, di Fejér e di Clenshaw-Curtis. I test numerici, svolti sull’intervallo e sul quadrato, mostrano che le formule di Fejér e di Clenshaw-Curtis presentano migliori proprietà di stabilità rispetto a quelle gaussiane e che l’approccio ai minimi quadrati basato sulla matrice di Gram risulta spesso più accurato dell’iperinterpolazione rilassata.