Studio dell’irriducibilità assoluta dei polinomi mediante politopi di Newton

L’irriducibilità dei polinomi è un concetto centrale in algebra, teoria dei numeri e geometria algebrica. Distinguere tra irriducibilità e irriducibilità assoluta permette di comprendere come un polinomio si comporta rispetto a diverse estensioni di un campo. La trattazione parte dal criterio di Eisenstein e analizza alcune classi di polinomi tramite il metodo dei poligoni di Newton, per poi estendere questo approccio ai politopi di Newton associati a polinomi multivariabili. In questo modo si ottiene un criterio geometrico più generale per l’irriducibilità assoluta dei polinomi multivariabili: un polinomio è assolutamente irriducibile se il suo politopo di Newton è indecomponibile secondo la somma di Minkowski. Sulla base di questa proprietà vengono proposte due costruzioni generali di politopi indecomponibili, che portano a nuovi criteri per verificare l’irriducibilità dei polinomi. Inoltre, i polinomi derivanti da questi criteri mantengono la proprietà di rimanere assolutamente irriducibili anche modificando alcuni coefficienti, a condizione che una parte di essi rimanga non nulla. Questa analisi fornisce strumenti per lo studio dell’irriducibilità assoluta dei polinomi, stabilendo un legame tra le strutture geometriche dei politopi e le proprietà algebriche dei polinomi.