Geometria ellittica dello spazio e parallelismo di Clifford

La tesi tratta i fondamenti della geometria ellittica dello spazio tridimensionale, concentrandosi sullo studio e sulla caratterizzazione del parallelismo di Clifford. Inizialmente viene introdotta la metrica ellittica all'interno dello spazio proiettivo usando una quadrica non degenere priva di punti reali, chiamata assoluto. Sfruttando le proprietà di invarianza del birapporto proiettivo e il principio di dualità metrica ellittica, si definiscono le nozioni di distanza e angolo, analizzandole in dettaglio per tutte le possibili combinazioni tra punti, rette e piani. Successivamente, sulla base di questa struttura metrica, si studia il gruppo delle isometrie dello spazio ellittico, si descrivono specifiche isometrie dirette, note come scorrimenti (destri e sinistri), e in relazione a questi si definiscono le congruenze di Clifford (destre e sinistre). Questi concetti permettono di definire formalmente il parallelismo di Clifford: si dimostra l'esistenza di rette sghembe tali che per ogni punto di ciascuna retta la distanza del punto dall'altra retta è costante (similmente al caso di rette parallele in geometria euclidea). Tali rette si organizzano in quadriche rigate (dette di Clifford) che come superfici nello spazio ellittico sono localmente isometriche a piani euclidei. Infine, viene approfondito un modello di rappresentazione dello spazio ellittico su quello euclideo: il modello di Killing-Darboux. Quest'ultimo è uno strumento che permette di trovare una corrispondenza di punti, piani e rette dello spazio ellittico con specifiche configurazioni dello spazio euclideo. L’elaborato si basa sulla rielaborazione e sull’integrazione dei concetti presentati da Enrico Bompiani nelle sue note dattiloscritte "Metriche non-euclidee" (1951-1952).