Sulla teoria degli spazi uniformi. Entourage, ricoprimenti uniformi e completezza.

The aim of this thesis is to study uniform structures on a set and their main applications. In the first part, uniform spaces are introduced through filters of entourages of the diagonal in the product space (diagonal uniformities) and through uniform covers (covering uniformities), highlighting the equivalence between the two definitions. The analysis then focuses on fine spaces, the notion of uniform continuity, and uniform structures induced by families of functions. The problems of uniformizability and uniform metrizability are also addressed, providing characterizations and emphasizing the relationships among metrics, uniformities, and topologies. The study concludes with the introduction of completeness in uniform spaces through the concept of Cauchy nets.

L’obiettivo dell’elaborato è lo studio delle strutture uniformi su un insieme e delle loro principali applicazioni. Nella prima parte vengono introdotti gli spazi uniformi mediante filtri di intorni della diagonale nel prodotto cartesiano (uniformità diagonali) e tramite ricoprimenti uniformi (uniformità ricoprenti), evidenziando l’equivalenza tra le due definizioni. L’analisi si concentra successivamente sugli spazi fini, sulla nozione di continuità uniforme e sulle strutture uniformi indotte da famiglie di funzioni. Vengono inoltre affrontati i problemi di uniformizzabilità e metrizzabilità uniforme, fornendo caratterizzazioni e mettendo in luce le relazioni tra metriche, uniformità e topologie. Lo studio si conclude infine con l’introduzione della completezza degli spazi uniformi attraverso il concetto di rete di Cauchy.