Costruzione e proprietà del moto Browniano

La tesi si articola in tre diversi capitoli e mira ad una descrizione del moto Browniano. Si tratta di un processo stocastico definito sui tempi reali che presenta delle proprietà estremamente irregolari. Nel primo capitolo verrà fornita una costruzione analitica del moto Browniano a partire dall'equazione del calore. In particolare, una volta risolta l'equazione del calore con analisi di Fourier si procede ad enunciare questo oggetto matematico su un dominio (l'insieme dei tempi) discreto (i numeri razionali). Con vari strumenti si riuscirà ad estenderlo in modo unico ad un processo stocastico a tempi reali. Questa prima costruzione è astratta ed analitica ed è da questa che si deduce la definizione e le prime proprietà basilari. All'interno del secondo capitolo viene presentata una costruzione che sfrutta strumenti probabilistici. Nello specifico, si costruisce una successione di processi stocastici sfruttando il fatto che le funzioni di Haar costituiscono una base dello spazio di funzioni in L^2, per poi dimostrare che questa successione converge quasi certamente al processo cercato. Nell'ultimo capitolo si enunciano e si dimostrano quattro proprietà fondamentali che mostrano il carattere estremamente irregolare di questo oggetto matematico. In particolare si mostra che le traiettorie sono quasi ovunque non differenziabili, la legge del logaritmo iterato, il modulo di continuità di Levy ed infine che la dimensione di Hausdorff delle traiettorie è pari a due.