La dimostrazione di Ahlfors del teorema di uniformizzazione

La tesi presenta una dimostrazione del Teorema di uniformizzazione per superfici di Riemann semplicemente connesse, seguendo l’approccio di L. V. Ahlfors. La prima parte consiste nella classificazione delle superfici di Riemann aperte in iperboliche e paraboliche, formulata attraverso funzione di Green, misura armonica e principio del massimo generalizzato. Nel caso iperbolico, l’esistenza della funzione di Green consente di costruire localmente funzioni olomorfe associate alle armoniche coniugate. L’ipotesi di semplice connessione permette poi di applicare il teorema di monodromia e ottenere una mappa olomorfa globale a valori nel disco unitario. Un argomento di confronto mostra che tale mappa è iniettiva; da qui, usando il teorema della mappa di Riemann, si conclude che la superficie è conforme al disco. Nel caso parabolico, l’assenza della funzione di Green richiede una costruzione diversa. Mediante il metodo di Perron si costruisce una funzione armonica con una singolarità prescritta; da essa, ancora tramite monodromia, si ottiene una funzione meromorfa globale con un unico polo semplice. Si dimostra quindi che questa funzione è iniettiva e che la sua immagine è la sfera di Riemann privata di un punto, ottenendo la conformità con il piano complesso. Infine, il caso compatto viene trattato adattando la costruzione del caso parabolico e sostituendo il principio del massimo generalizzato con quello classico, arrivando alla conformità con la sfera di Riemann. La tesi si conclude con un commento storico sul teorema e sulla dimostrazione di Ahlfors.