Classificazione dei gruppi di ordine p³ e p⁴

Lo scopo è classificare i gruppi di ordine p^3 e p^4, con p numero primo, ossia determinare, a meno di isomorfismo, tutti i gruppi di tali ordini. Nel primo capitolo viene trattato il caso p=2. Dopo un richiamo ai gruppi di ordine 8, che costituiscono il punto di partenza per lo studio successivo, viene presentata la classificazione completa dei gruppi di ordine 16. Lo studio, ad eccezione del caso di (C2)^4, si basa sulla descrizione delle estensioni cicliche di C8 e K8 mediante C2. Analizzando le possibili azioni di C2, si individuano i quattordici gruppi di ordine 16, dimostrando che essi esauriscono tutte le possibilità e che sono a due a due non isomorfi. Nel secondo capitolo viene analizzato il caso p^3 con p dispari. Si mostra che esistono tre gruppi abeliani e due non abeliani. Questi ultimi vengono determinati individuando opportuni sottogruppi normali e i relativi complementi, distinguendo il caso con esponente p da quello con esponente p^2. Si conclude con la descrizione dei reticoli di sottogruppi dei gruppi ottenuti. Nel terzo capitolo viene studiato il caso p^4. Si utilizzano i risultati sulle estensioni cicliche ottenuti nel primo capitolo, estendendoli al caso con p dispari e mettendo in luce le differenze rispetto al caso pari. Vengono individuati 15 gruppi, descritti attraverso le diverse azioni possibili sul sottogruppo normale. Infine, nel quarto capitolo, alla luce della crescente complessità della classificazione dei gruppi di ordine p^n, viene presentata la congettura PORC, formulata da Graham Higman, che fornisce una previsione sul numero di gruppi di ordine p^n al variare di p.