Riduzione simplettica e geodetiche sull'ellissoide

This thesis addresses a classical result—the complete integrability of the geodesic flow on an ellipsoid—employing an approach due to Moser based on the technique of symplectic reduction. The work is structured as follows: after introducing the necessary concepts of Hamiltonian mechanics and differential geometry, the technique of symplectic reduction is discussed in detail, providing it with a rigorous theoretical foundation. Leveraging this framework, geodesics on hypersurfaces (subject to specific hypotheses) are reinterpreted as the outcome of a reduction procedure. Chapter 3 then demonstrates how this technique can be explicitly applied to the case of the sphere, where, through a targeted coordinate transformation, it is shown that the geodesics are precisely the great circles by verifying that they satisfy the Hamilton equations derived from the reduction process. Finally, Chapter 4 tackles the complete integrability of the geodesics by seeking the required first integrals. These are derived in a non-trivial manner by exploiting the geometric and orthogonality properties of families of confocal quadrics.

La tesi affronta un risultato classico, la completa integrabilità del flusso geodetico su un ellissoide, attraverso un approccio dovuto a Moser basato sulla tecnica della riduzione simplettica. Il lavoro si articola nel seguente modo: dopo aver introdotto i concetti necessari di meccanica hamiltoniana e di geometria differenziale, viene trattata nel dettaglio la tecnica della riduzione simplettica, fornendone una rigorosa giustificazione teorica. Avvalendosi di tale strumento, le geodetiche sulle ipersuperfici (soggette a certe ipotesi) vengono reinterpretate come il risultato di un procedimento di riduzione. Nel Capitolo 3 viene poi illustrato come questa tecnica si possa applicare in maniera esplicita al caso della sfera, dove, tramite un cambio di coordinate mirato, si dimostra che le geodetiche sono tutti e soli i cerchi massimi, verificando che esse soddisfano le equazioni di Hamilton fornite dal procedimento di riduzione. Infine, nel Capitolo 4, si affronta la completa integrabilità delle geodetiche andando alla ricerca degli integrali primi necessari. Questi vengono ricavati in maniera non banale sfruttando le proprietà geometriche e di ortogonalità delle famiglie di quadriche confocali.