Modellazione dell'eterogeneità non osservata mediante variabili latenti continue e categoriali

This work addresses the problem of modeling unobserved heterogeneity within the framework of multivariate statistical analysis. In many applied contexts, the data structure is simultaneously governed by continuous latent factors, responsible for the covariation among manifest variables, and by categorical latent variables, associated with the presence of directly unobservable subpopulations. The work begins with an analysis of the two classical paradigms of latent modeling: Factor Analysis, oriented towards dimensionality reduction and the identification of continuous constructs, and Gaussian mixture models, aimed at the probabilistic classification of observations. Starting from the intrinsic limitations of each approach, factor mixture models are introduced, allowing for the integration of factorial synthesis and the identification of latent groups into a single, rigorous probabilistic framework. The discussion systematizes a highly fragmented literature, examining both the statistical strand, with a particular focus on Parsimonious Gaussian Mixture Models, and the psychometric strand, represented by Heteroscedastic Factor Mixture Analysis. For each approach, the main theoretical assumptions, estimation strategies, the role of measurement invariance, and the regularization properties, crucial for managing parametric complexity, are discussed. The empirical part of the work includes a Monte Carlo simulation study and an application to real data. The simulations demonstrate that, as the dimensionality of the observed space increases, the simultaneous extraction of factors acts as a powerful regularization tool, allowing hybrid models to uncover clusters that would otherwise elude classical approaches. Finally, the empirical application confirms the validity of the theoretical framework: by statistically rejecting the hypothesis of a homogeneous population, factor mixture models make it possible to identify latent response profiles while preserving the substantive coherence of the measured constructs, thus offering an ideal synthesis of flexibility, parsimony, and interpretability.

Il presente elaborato affronta il problema della modellazione dell'eterogeneità non osservata nell'ambito dell'analisi statistica multivariata. In molti contesti applicativi, infatti, la struttura dei dati risulta governata simultaneamente da fattori latenti continui, responsabili della covariazione tra le variabili manifeste, e da variabili latenti categoriali, associate alla presenza di sottopopolazioni non direttamente osservabili. Il lavoro prende avvio dall'analisi dei due paradigmi classici della modellazione latente: l'Analisi Fattoriale, orientata alla riduzione della dimensionalità e all'identificazione di costrutti continui, e i modelli a mistura gaussiana, finalizzati alla classificazione probabilistica delle osservazioni. A partire dai limiti intrinseci di ciascun approccio, vengono introdotti i modelli a mistura fattoriale, i quali consentono di integrare in un'unica rigorosa cornice probabilistica la sintesi fattoriale e l'individuazione di gruppi latenti. La trattazione sistematizza una letteratura spiccatamente frammentata, approfondendo sia il filone statistico, con particolare attenzione ai Parsimonious Gaussian Mixture Models, sia il filone psicometrico, rappresentato dalla Heteroscedastic Factor Mixture Analysis. Per ciascun approccio vengono discusse le principali assunzioni teoriche, le strategie di stima, il ruolo dell'invarianza di misurazione e le proprietà di regolarizzazione, determinanti per la gestione della complessità parametrica. La parte empirica del lavoro comprende uno studio di simulazione Monte Carlo e un'applicazione a dati reali. Le simulazioni dimostrano che, all'aumentare della dimensionalità dello spazio osservato, l'estrazione simultanea dei fattori agisce come un potente strumento di regolarizzazione, permettendo ai modelli ibridi di smascherare cluster che sfuggirebbero agli approcci classici. L'applicazione empirica conferma infine la validità dell'impianto teorico: respingendo statisticamente l'ipotesi di una popolazione omogenea, i modelli a mistura fattoriale permettono di individuare profili latenti di risposta preservando al contempo la coerenza sostantiva dei costrutti misurati, offrendo così una sintesi ideale tra flessibilità, parsimonia e interpretabilità.