Simmetrie spaziali e classificazione di Bianchi nei modelli cosmologici omogenei

La tesi è dedicata allo studio dei modelli cosmologici spazialmente omogenei attraverso gli strumenti della geometria differenziale. Il ruolo delle simmetrie spaziali costituisce il punto centrale della trattazione: la loro struttura algebrica, descritta dalle algebre di Lie tridimensionali, consente infatti di classificare le possibili geometrie omogenee secondo lo schema di Bianchi. Mediante il formalismo della tetrade ortonormale, le equazioni di campo di Einstein per i modelli ortogonali di Bianchi vengono quindi ridotte a un sistema di equazioni differenziali ordinarie. La trattazione viene infine applicata al modello di Bianchi~I contenente polvere, materia rigida e una costante cosmologica non negativa. L'introduzione di variabili Hubble-normalizzate consente di descriverne l'evoluzione mediante un sistema dinamico autonomo definito su uno spazio degli stati compatto. Il sistema presenta come principali equilibri il disco di Jacobs, il punto FLRW, corrispondente alla soluzione di Einstein--de Sitter dominata dalla polvere, e il punto di de Sitter. Nel limite passato, le orbite interne convergono verso un punto del disco di Jacobs; in assenza di materia rigida, il corrispondente limite anisotropo appartiene al cerchio di Kasner, che costituisce la frontiera del disco stesso. Si mostra inoltre che esistono insiemi aperti di dati iniziali anisotropi le cui evoluzioni possono permanere arbitrariamente vicine al punto di Einstein--de Sitter per intervalli temporali finiti, ma arbitrariamente lunghi, descrivendo così una fase intermedia quasi isotropa. Nel limite futuro, invece, per una costante cosmologica positiva, le orbite interne convergono verso lo stato di de Sitter. Tali risultati mostrano pertanto che l'isotropia può emergere come comportamento asintotico futuro anche a partire da condizioni iniziali anisotrope.