Matematica degli origami piatti: proprietà locali, proprietà globali e NP-hardness

La seguente Tesi Magistrale si pone l’obiettivo di analizzare ed approfondire il tema dei flat-origami, ossia di quegli origami che, una volta eseguite le pieghe indicate, producono come risultato un modellino “piatto” (spesso indicati come “piegature a libro”). Dal punto di vista matematico si può astrarre questo concetto e dire che i flat-origami sono quei modelli che, una volta piegati, risultano contenuti in un piano euclideo (supponendo che lo spessore della carta sia trascurabile). Per conseguire il fine proposto, il seguente elaborato sarà strutturato in quattro capitoli. Il primo capitolo mira a formalizzare, dal punto di vista assiomatico, il concetto di origami. Conterrà le definizioni di base, un’analisi degli assiomi su cui la teoria degli origami si fonda e alcune loro importanti conseguenze. Il secondo capitolo introdurrà il concetto di flat-origami, che verranno ivi studiati dal punto di vista locale. Per fare ciò, si analizzeranno quegli schemi di pieghe, detti crease pattern, che contengono un solo punto di intersezione tra le pieghe, detto vertice, e si cercheranno delle condizioni necessarie e sufficienti affinché si possano piegare in modo piatto (proprietà che viene chiamata flat-foldability). Nel terzo capitolo si cercherà di rendere globale tale analisi, estendendo lo studio degli origami piatti al caso degli schemi di pieghe che contengono più di un vertice. Nel farlo si incontreranno numerose difficoltà strutturali, che saranno causa della mancanza di condizioni sufficienti, di facile verifica, alla flat-foldability nel caso generale. Si riusciranno comunque ad ottenere alcune condizioni necessarie, che verranno corredate da esempi ed analisi, e una condizione sufficiente, che risulterà però computazionalmente complessa da controllare. Infine, nel quarto ed ultimo capitolo si evidenzierà che la difficoltà nel globalizzare le condizioni locali è intrinseca nella struttura dei crease pattern a più di un vertice. Dopo un’introduzione sui metodi che verranno usati, si presenterà infatti un risultato che mostra come il capire se un certo schema di pieghe sia o meno flat-foldable è un problema NP-arduo.