Blowing-up e desingolarizzazione di curve algebriche

Singularities of plane algebraic curves contain fundamental information about the local structure of curves. The aim of this paper is to present the geometric tools underlying their analysis and subsequent desingularization. After introducing the blowing-up construction of a point on a smooth surface, the main properties of the exceptional divisor, the strict transform of curves, and infinitely close points are studied. These tools allow us to describe the evolution of a curve's local structure through blowing-up sequences and to analyze their behavior through multiplicity and intersection properties. The paper concludes with the presentation of the singularity resolution theorem of plane curves, which shows how any singularity can be eliminated through a finite number of blowing-ups, resulting in a configuration in which the curve's components are smooth and intersect at most transversally.

Le singolarità delle curve algebriche piane racchiudono informazioni fondamentali sulla struttura locale delle curve. Lo scopo di questo elaborato consiste nel presentare gli strumenti geometrici alla base della loro analisi e della successiva desingolarizzazione. Dopo aver introdotto la costruzione del blowing-up di un punto su una superficie liscia, vengono studiate le principali proprietà del divisore eccezionale, della trasformata stretta delle curve e dei punti infinitamente vicini. Tali strumenti consentono di descrivere l’evoluzione della struttura locale di una curva attraverso successioni di blowing-up e di analizzarne il comportamento mediante la molteplicità e le proprietà di intersezione. L’elaborato si conclude con la presentazione del teorema di risoluzione delle singolarità delle curve piane, che mostra come ogni singolarità possa essere eliminata mediante un numero finito di blowing-up, ottenendo una configurazione nella quale le componenti della curva risultano lisce e si intersecano al più trasversalmente.