Introduzione alle funzioni di Bessel

Questa tesi è dedicata allo studio introduttivo delle funzioni di Bessel e al loro ruolo fondamentale nella risoluzione di problemi ai valori iniziali e al contorno per equazioni alle derivate parziali a simmetria circolare. \\ Partendo dai modelli classici delle equazioni delle onde e del calore, il passaggio alle coordinate polari bidimensionali e l'applicazione del metodo di separazione delle variabili portano alla definizione di equazione di Bessel di ordine $\nu$. Implementando la funzione Gamma per usufruire delle sue proprietà, vengono costruite le funzioni di Bessel di prima specie $J_\nu(x)$ e di seconda specie (funzioni di Weber) $Y_\nu(x)$, in modo da formare un base di soluzioni dell'equazione di Bessel. \\ Da qui iniziamo lo studio vero e proprio delle funzioni di Bessel, concentrandoci maggiormente nei casi in cui $\nu$ è reale o intero e introducendo poi le formule di ricorrenza e le rappresentazioni integrali. Si prosegue con lo studio degli zeri delle funzioni che ci permetteranno di utilizzare le funzioni di Bessel come base ortogonale completa per lo spazio di Hilbert pesato $L_\omega^2(0, b)$ con peso $w(x)=x$.\\ Infine, utilizzeremo ciò che è stato visto per ottenere le soluzioni dell'equazione delle onde per la membrana circolare vibrante (mediante sviluppi in serie di Fourier--Bessel) e dell'equazione del calore per un settore circolare (mediante sviluppi in serie di Dini), in entrambi i casi utilizzando opportune condizioni al bordo.