Densities and the Geometry of Radon Measures: Marstrand’s Theorem and Rectifiability

The thesis studies the relationship between the density properties of a Radon measure and its geometric structure. After introducing the basic tools of Geometric Measure Theory, we use tangent measures to give a proof of Marstrand's Theorem, which shows that the existence of a positive and finite s-density forces s to be an integer. In the second part we prove Marstrand-Mattila Rectifiability Criterion, a result that shows the connection between weak linear approximability and rectifiability of sets and as a consequence, we obtain a criterion for the rectifiability of a Radon measure based on the behaviour of its tangent measures. Starting from this criterion, by proving that 1-uniform measures are flat, we get the rectifiability of Radon measures with positive and finite 1-density at almost all points.

La tesi studia la relazione tra le proprietà di densità di una misura di Radon e la sua struttura geometrica. Dopo aver introdotto gli strumenti di base della Teoria Geometrica della Misura, usiamo le misure tangenti per dare una dimostrazione del Teorema di Marstrand, che mostra che l'esistenza di s-densità positiva e finita impone che s sia intero. Nella seconda parte dell'elaborato, dimostriamo il criterio di rettificabilità di Marstrand-Mattila, un risultato che mostra la connessione tra l'essere debolmente approssimabile da un k-piano e la rettificabilità di un insieme e come conseguenza otteniamo un criterio per la rettificabilità di una misura di Radon basato sul comportamento delle sue misure tangenti. Partendo da questo criterio, dimostrando che le misure 1-uniformi sono piatte, otteniamo la rettificabilità di misure di Radon che hanno 1-densità positiva e finita in quasi ogni punto.