Matrice di Drazin e pseudoinverse su campi finiti

L'obiettivo di questo lavoro di tesi è lo studio delle pseudoinverse, la cui teoria nasce dall'esigenza di estendere il concetto di invertibilità a matrici rettangolari e/o singolari. Nel primo capitolo tratteremo il caso di matrici quadrate sul campo complesso ed, in particolare, studieremo la pseudoinversa di Drazin attraverso la nozione di indice di una matrice quadrata e la decomposizione cuore-nilpotente. Vengono quindi analizzate le principali proprietà della pseudoinversa di Drazin, discutendone in particolare l'esistenza e l'unicità. Viene inoltre approfondito il caso della pseudoinversa gruppale e viene mostrato sotto quale condizione la pseudoinversa di Moore-Penrose coincide con la matrice D-inversa. Per finire, viene dimostrato come la pseudoinversa di Drazin possa essere ricavata come polinomio a coefficienti complessi legato al polinomio minimo della matrice quadrata presa in considerazione. Dato che la teoria delle inverse generalizzate è uno strumento utile nell'ambito informatico, come ad esempio la crittografia, nel secondo capitolo lo studio viene esteso al caso di matrici su un campo finito. Dopo aver introdotto i concetti di inversa generalizzata e di inversa generalizzata riflessiva, vengono descritte le condizioni necessarie e sufficienti per l'esistenza dell'inversa generalizzata di Moore-Penrose su campi finiti, mettendo in evidenza come esse siano legate alla decomposizione dello spazio vettoriale in somma diretta ortogonale. Per concludere viene discussa l'unicità dell'inversa generalizzata di Moore-Penrose nel caso in cui essa esista.