Robust and adaptive strategies for shortfall risk minimization under model uncertainty

In letteratura, sono stati proposti molti modi per affrontare la situazione di informazione incompleta. Per esempio, si potrebbe decidere di scegliere la politica ottima in modo da ottenere la migliore prestazione possibile contro quello che si crede possa essere il peggior caso possibile: questo e' il cosiddetto approccio minimax (studiato, per esempio, in [1], [3], [18] o, in forma piu' generale, in [4], [16]). In alternativa, si potrebbe cercare di formulare il modello in modo da dare agli elementi incerti una struttura di elementi aleatori su un opportuno spazio di probabilita', aggiornandone la distribuzione a mano a mano che con il passare del tempo aumenta la quantita' di informazioni sul loro conto: questo e' il cosiddetto approccio bayesiano (si veda, per esempio, [17]). Un altro possibile modo per prendere in considerazione l’incertezza e' il cosiddetto approccio robusto (si vedano, per esempio, [2], [10], [11], [12]), che `e quello esaminato nella presente tesi. L’idea e' quella di includere il problema stocastico controllato (P) con cui si ha a che fare in una classe Q di problemi e di dimostrare che la politica ottima Q per un particolare problema (Q) in questa classe da', in qualche senso, risultati accettabili quando viene usata per controllare qualsiasi altro sistema in Q e, in particolare, anche il “vero” sistema (P) (il problema (Q), in letteratura, e' chiamato “problema nominale” o, talvolta “approssimante”). In sostanza, si stima per ogni problema (R) 2 Q la differenza tra il valore ottimo del problema (R) e il valore che si ottiene quando (R) e' controllato con la strategia <pi>Q; si definisce poi l’indice di robustezza come l’estremo superiore di tutte queste differenze. Lo scopo dell’approccio robusto e' allora quello di ottenere una disuguaglianza di robustezza, cioe' una quantita' della classe Q: questa quantita' e' allora anche un limite superiore della prestazione che si ottiene usando il controllo <pi>Q nel problema (P). Si noti che l’approccio robusto pu`o essere utilizzato anche quando una formulazione “completa” del modello, cioe' una formulazione che prenda in considerazione tutti gli aspetti del modello stesso, risultasse intrattabile dal punto di vista teorico o computazionale.