Algebre di Clifford, spinori e l'equazione di Diracin uno spazio-tempo curvo

L'argomento principale della tesi riguarda l'equazione di Dirac. L'obiettivo è quello di studiare le costruzioni di geometria differenziale che sono necessarie per ottenere una formulazione rigorosa dell'equazione nell'ambito della relatività ristretta e generale. Si partirà quindi dall'analisi delle algebre di Clifford e dei gruppi di Spin. Le prime serviranno a definire l'algebra di Dirac, costituita dalle matrici di Dirac che emergono nella definizione dell'operatore di Dirac, mentre i gruppi di Spin permettono di costruire un rivestimento universale doppio del gruppo delle rotazioni dello spazio e del gruppo di Lorentz, oltre che a definire una struttura di Spin su una varietà pseudo-Riemanniana. L'equazione di Dirac è un'equazione d'onda che descrive il moto dei fermioni, ed è consistente sia con la meccanica quantistica che con la teoria della relatività. Nello spazio-tempo di Minkowski, la sua formulazione segue all'introduzione di un nuovo operatore differenziale, detto Operatore di Dirac. Verranno analizzate quindi le Matrici di Dirac, che costituiscono i coefficienti dell'operatore, e in seguito gli spinori di Dirac, ovvero le funzioni d'onda dell'equazione. Il passaggio alla relatività generale e quindi allo spazio-tempo curvo richiede lo studio di un importante problema di geometria differenziale: il rialzamento del gruppo di struttura di un fibrato vettoriale, che permette di definire una struttura di Spin. Infatti per parlare di equazione di Dirac nello spazio curvo è necessario che la varietà differenziabile che descrive lo spazio curvo ammetta una struttura di Spin. Solo in questo modo è possibile definire il fibrato spinoriale, le cui sezioni sono le funzioni d'onda dell'equazione. Per derivare tali sezioni, e quindi per definire l'operatore di Dirac nello spazio curvo, è necessario introdurre su tale fibrato una connessione, detta Connessione di Spin, che verrà calcolata in modo esplicito.