Modelli di diffusione con rumore frazionario

La diffusione, nei sistemi omogenei, è caratterizzata da fluttuazioni quadratiche medie lineari nel tempo e da densità di probabilità gaussiane. Al contrario di ciò, alcuni recenti esperimenti hanno mostrato come la diffusione in ambienti non omogenei o disordinati abbia comportamenti anomali, caratterizzati da densità di probabilità esponenziali (diffusione non-Gaussiana) e/o spostamenti quadratici medi non lineari nel tempo (diffusione Anomala). Lo scopo di questo elaborato è quello di studiare questi nuovi fenomeni diffusivi usando modelli caratterizzati da coefficiente di diffusione non costante e da rumore frazionario. Per raggiungere questo obiettivo si determineranno, analiticamente, gli spostamenti quadratici medi, per poi verificare, numericamente, i risultati ottenuti nel caso di indice di Hurst unitario. Con l'ausilio di simulazioni si otterranno anche le densità di probabilità che verranno confrontante con quanto atteso dall'analisi numerica della kurtosis. Diffusion, in homogeneous systems, is characterized by linear mean quadratic fluctuations in time and by Gaussian probability density functions. On the contrary, some recent experiments have shown how diffusion in non-homogeneous or disordered environments has anomalous behaviors, characterized by exponential probability density functions (non-Gaussian diffusion) and / or non-linear mean quadratic displacements in time (Anomalous diffusion). The purpose of this paper is to study these new diffusion phenomena using models characterised by non constant diffusion coefficient and by fractional noise. To achieve this goal, the average quadratic displacements will be determined analytically, and then, these quantities will be verified numerically in the case of a unitary Hurst index. Thanks to simulations we will also obtain probability density functions, that will be compared with the kurtosis.