Using Observables as Predictors through Response Theory: From Linear Systems to Nonlinear Climate Models

The goal of response theory, in each of its many statistical mechanical formulations, is to predict the perturbed response of a system from the knowledge of the unperturbed state and of the applied perturbation. A new recent angle of the problem focuses on performing predictions of the change in one observable of the system by using the change in a second observable as a surrogate for the actual forcing. From the angle of control theory, this means that one can reconstruct the full state of a perturbed process from the observation of just a few variables. It turns out that it is not always possible to use perturbed observables as surrogates of the forcing, but no general method has been provided to practically discriminate a priori the unsuccessful cases. In this work, we make the first step towards the filling of this gap in the simple yet relevant case of forced and dissipative linear systems, including the case of systems with memory. We introduce a rigorous test (which we refer to as unpredictability criterion) that can rule out a variable as a predictor of other variables. This applies when the linear feedbacks acting on such a variable are stronger than dissipation. At this regard, we provide some simple yet informative examples and we propose some applications of our results in control theory and rational approximation theory. We also show that the presence of non-Markovian components in the dynamics enhances the predictive power of all variables. Moreover, we extend our results to random matrices, obtaining an average form of that test. One of the reasons for the effectiveness of response theory lies in its extreme flexibility in the definitions of response and perturbation. In spatially extended systems it is possible to look at the response of some local observables, defined in different zones of the system. In this work we apply response theory to the spatially extended system Lorenz 96, which has been proposed in the context of climate science. We perturb the system in a given location and then we study to what extent a given local observable can predict the behaviour of another local observable. We show this kind of study allows to unveil potential information flows and causal links within the system. Given this study of the dynamical system Lorenz 96, we devise a rather general method to study spatially extended systems and their emergent properties through response theory. Abstract in italiano: L'obiettivo della Teoria della Risposta, in ciascuna delle sue numerose formulazioni meccanico-statistiche, è di prevedere la risposta perturbata di un sistema dalla conoscenza dello stato imperturbato e della perturbazione applicata. Un nuovo punto di vista recente del problema si concentra sull'esecuzione di previsioni del cambiamento in un osservabile del sistema utilizzando il cambiamento in un secondo osservabile come surrogato della forzatura effettiva. Dal punto di vista di Teoria del Controllo, ciò significa che è possibile ricostruire lo stato completo di un processo perturbato dall'osservazione di poche variabili. Risulta che non è sempre possibile utilizzare osservabili perturbati come surrogati della forzatura, ma non è stato fornito alcun metodo generale per discriminare praticamente a priori i casi infruttuosi. In questo lavoro, facciamo il primo passo verso il riempimento di questa lacuna nel caso semplice ma rilevante dei sistemi lineari forzati e dissipativi, incluso il caso dei sistemi con memoria. Introduciamo un test rigoroso (a cui ci riferiamo come Unpredictability Criterion) che può escludere una variabile come predittore di altre variabili. Ciò si applica quando i feedback lineari che agiscono su una tale variabile sono più forti della dissipazione presente nel sistema. A questo proposito, forniamo alcuni esempi semplici ma informativi e proponiamo alcune applicazioni dei nostri risultati in teoria del controllo e teoria dell'approssimazione razionale. Mostriamo anche che la presenza di componenti Non-Markoviane nella dinamica aumenta il potere predittivo di tutte le variabili. Inoltre, estendiamo i nostri risultati a matrici casuali, ottenendo una forma media di quel test. Una delle ragioni dell'efficacia della teoria della risposta risiede nella sua estrema flessibilità nelle definizioni di risposta e perturbazione. In sistemi spazialmente estesi è possibile osservare la risposta di alcune osservabili locali, definite in diverse zone del sistema. In questo lavoro applichiamo la teoria della risposta al sistema spazialmente esteso Lorenz 96, che è stato proposto nel contesto della scienza del clima. Perturbiamo il sistema in una data posizione e quindi studiamo fino a che punto un dato osservabile locale può prevedere il comportamento di un altro osservabile locale. Mostriamo che questo tipo di studio consente di svelare potenziali flussi di informazioni e collegamenti causali all'interno del sistema. Dato questo studio del sistema dinamico Lorenz 96, abbiamo trovato un metodo piuttosto generale per studiare i sistemi spazialmente estesi e le loro proprietà emergenti attraverso la Teoria della Risposta.