Il fenomeno del ciclo limite in un modello di orologio circadiano

Obiettivo di questo lavoro è presentare una possibile descrizione formale del meccanismo biologico che regola gli orologi circadiani negli esseri viventi. Ogni essere vivente, dal batterio al mammifero, ha sviluppato nel corso di milioni di anni, come risposta adattiva alle variazioni luminose e climatiche, un sistema biochimico che detta il tempo all’organismo, ne scandisce le giornate regolando il ciclo sonno/veglia, la pressione sanguigna, la fame, le attività. E’ stato recentemente scoperto che non si tratta di una semplice risposta a stimoli ambientali: questi "metronomi endogeni" esistono e funzionano autonomamente, pur venendo sincronizzati, all’occasione, da stimoli esterni. Tuttavia, la ricerca di un modello di equazioni differenziali che descriva correttamente la dinamica del sistema non è affatto semplice: solo nel 1995 viene proposto per la prima volta un modello 5-dimensionale (modello di Goldbeter) coerente con il funzionamento dell’orologio circadiano del moscerino della frutta, la Drosofila Melanogaster. Non abbiamo un analogo per gli orologi nei mammiferi, quello che però sappiamo è che le equazioni di Van der Pol descrivono in maniera abbastanza accurata il meccanismo oscillatorio nell’orologio circadiano umano. Da un lato quindi, abbiamo equazioni a 5 variabili di difficile risoluzione e comprensione, dall’altro abbiamo un sistema di equazioni più semplice, che però non ha un immediato supporto biologico. Nel corso del nostro lavoro analizzeremo dunque il modello di Goldbeter con l’obiettivo di approssimare il sistema a un oscillatore bi-dimensionale e vedremo quanto questo sia matematicamente compatibile con l’oscillatore di Van der Pol, dimostrando in ultima analisi una forte analogia tra gli orologi biologici nei diversi esseri viventi.