A topological perspective for branching-time logics

Questa tesi è suddivisa in due parti: - nella prima parte, abbiamo descritto la *Logica Temporale* e, in particolare, alcune logiche del tempo ramificato; - nella seconda parte abbiamo analizzato da un punto di vista topologico alcune proprietà algebriche degli alberi, su cui sono basate molte semantiche per la logica temporale. L'obiettivo principale della Logica temporale è la definizione di un linguaggio formale (e di una semantica) che possa esprimere proposizioni con tempi verbali, come "Ha piovuto", "Ho dormito, in passato", "In futuro impareremo a volare". Si osserva immediatamente che il valore di verità di queste proposizioni dipende dal momento in cui sono considerate, a differenza delle proposizioni della Logica Classica. Perciò, il primo passo per una definizione di verità in questo contesto è quello di costruire una adeguata struttura matematica che rappresenti il tempo. Nei primi due capitoli, analizzeremo varie scelte sintattiche e semantiche per la Logica Temporale, e differenti assunzioni ontologiche (una su tutte, l'*Indeterminismo*) che modificheranno il modello del tempo considerato. Seguendo l'articolo *Topological Aspects of Branching-Time Semantics *(2003) di M. Sabbadin e A. Zanardo, nel terzo capitolo abbiamo preso in considerazione una semantica inusuale per la Logica Temporale, basata su una naturale struttura topologica aggiunta alla semantica Ockhamista. In particolare, lo spazio dei rami massimali (o storie) della rappresentazione ad albero del tempo diventa uno spazio topologico *non-Archimedeo*. In questo capitolo vengono analizzate in dettaglio le proprietà di questo spazio, e viene dimostrato un importante risultato di validità. Infine il quarto capitolo, che è in parte un lavoro di ricerca, contiene la "traduzione" in questo nuovo linguaggio topologico di varie proprietà algebriche degli alberi. Vengono descritte le proprietà topologiche dello spazio delle storie degli alberi lineari, degli alberi finitamente ramificati, di quelli ben fondati, e di altre classi più particolari, come gli alberi ω-cofinali e gli alberi *jointed*. Il capitolo si conclude con un'analisi degli alberi di Souslin e degli alberi speciali, strettamente collegati al noto *Problema di Souslin*.