Metodi numerici per la soluzione di problemi agli autovalori e autovettori

In questa tesi si propongono e sperimentano tecniche numeriche per la conoscenza di autovalori e autovettori di matrici quadrate. L'utilizzo dell’analisi numerica per la ricerca di autovalori e autovettori è necessario in quanto il classico metodo che prevede di trovare le radici dell'equazione caratteristica della matrice è soggetto a errori di approssimazione, inoltre, tranne che per casi particolari, è molto costoso dal punto di vista computazionale trovare le radici di un polinomio di grado elevato. In molte applicazioni ingegneristiche è importante la conoscenza degli autovalori e degli autovettori di una matrice, in particolare gli autovalori estremi sui quali ci si è focalizzati in questo testo. Sono proposti metodi numerici come il metodo delle potenze con varianti per ottimizzare la ricerca dell'autovalore massimo, minimo e dei secondi massimi e minimi. Viene proposto anche il metodo del gradiente coniugato con quoziente di rayleigh con e senza precondizionamento per aumentarne l'efficenza. Si analizzano varie casistiche e si confrontano i relativi errori di calcolo e le velocità di convergenza alla soluzione cercata. Infine, si vanno ad applicare questi metodi ad una matrice sparsa, tipo di matrice molto frequente nelle applicazioni ingegneristiche, associata ad una griglia di un problema agli elementi finiti. Tutte le implementazioni degli algoritmi utilizzati e testati sono effettuate con la piattaforma di programmazione e calcolo numerico MATLAB.