Applicazioni della teoria estremale dei grafi a problemi in teoria dei gruppi

Obiettivo di questa tesi è quello di illustrare alcune applicazioni della teoria estremale dei grafi a problemi in teoria dei gruppi. Nel primo capitolo si presenta un teorema di A. Lucchini sulle classi di gruppi da cui, come corollario, segue una risposta a un problema di B. H. Neumann sulla commutatività dei gruppi finiti. Per fare questo, si usano un teorema sui grafi, il teorema di Kővári-Sós-Turán, che costituisce l’argomento fondamentale per provare tale teorema di A. Lucchini, e un famoso risultato di W. H. Gustafson, che asserisce che in un gruppo finito non abeliano, la probabilità che due elementi commutino è al più 5/8. Si conclude il capitolo considerando altre classi di gruppi, oltre a quella dei gruppi abeliani. Il secondo capitolo è dedicato alla dimostrazione del teorema di Kővári-Sós-Turán, che viene presentato in tre versioni: per grafi non orientati, per grafi non orientati bipartiti e per grafi orientati. Nel terzo capitolo si vede un altro teorema di A. Lucchini che, essenzialmente con gli stessi argomenti, prova un risultato simile a quello visto nel primo capitolo, ma che riguarda parole in F_2 invece di classi di gruppi. Tale teorema viene poi generalizzato a parole in un numero arbitrario di variabili ed entrambi i teoremi vengono applicati ad alcune parole che soddisfano un gap di probabilità.