Il principio locale-globale e il teorema di Hasse-Minkowski

Data un'equazione a coefficienti razionali, se essa ammette una soluzione razionale, ovvero una soluzione "globale", allora ha soluzioni "locali" nel campo dei reali e nel campo dei numeri p-adici per ogni p primo, perché il campo dei razionali si immerge nei suoi completamenti. Il principio locale-globale rappresenta l'idea che tale relazione si possa invertire: un'equazione soddisfa tale principio se, nel momento in cui possiede soluzioni in R e Q_p per ogni primo p, ammette una soluzione razionale. Il teorema di Hasse-Minkowski sancisce la validità del principio locale-globale per la famiglia delle forme quadratiche su Q, in particolare afferma che una forma quadratica "rappresenta" lo zero sul campo dei razionali se e solo se "rappresenta" lo zero su R e ogni Q_p. La tesi si propone di giungere all'enunciato del teorema, introducendo l'ambiente dei numeri p-adici e presentando gli altri strumenti necessari alla sua dimostrazione.