L'equazione di Hamilton-Jacobi nel calcolo delle variazioni e applicazioni al principio di Huygens

La tesi tratta nello specifico dell'utilizzo nel calcolo delle variazioni dell'equazione di Hamilton-Jacobi. Nel primo capitolo introduciamo gli oggetti fondamentali del calcolo delle variazioni, del formalismo Lagrangiano ed Hamiltoniano. Nel secondo capitolo definiamo la figura completa di Carathéodory associata ad una foliazione in ipersuperfici di livello, costruzione geometrica che fa emergere l'equazione alle derivate parziali di Hamilton-Jacobi. Noteremo una stretta connessione tra quest'ultima equazione, i sistemi Hamiltoniani e la risoluzione di alcuni problemi variazionali, tramite l'uso della funzione eccesso di Weierstrass. Infine, nel terzo capitolo, vedremo che applicando i vari risultati ottenuti a precisi problemi variazionali e foliazioni è possibile derivare il principio di Huygens relativo alla propagazione delle onde.