Sequenze generatrici di gruppi finiti

The dissertation, entitled "Generating sequences of finite groups", consists in the investigation of irredundant generating sequences of finite groups, i.e. sequences which generate the whole group but that do not contain properly a generating subsequence. The first part deals with sequences of elements of a finite group: first of all, we show an important result about the existence of such sequences (Tarski's theorem), then we proceed with an important construction starting from Moebius inversion and at the end we get a formula for the explicit computation of the number of irredundant generating sequences. Then we bring some examples using the most famous finite groups and, whenever it is necessary, resorting to GAP. After that, we move our focus to sequences composed of subgroups of a finite group, trying to get similar results as for the first part. In particular, we state a new version of Tarski's Theorem (which is still true under suitable assumptions) and a new formula for the computation of the number of sequences.

L'elaborato dal titolo "Sequenze generatrici di gruppi finiti" consiste nello studio di sequenze generatrici di gruppi finiti, in particolare di quelle dette "minimali", cioè sequenze i cui elementi generano il gruppo, ma tali che non contengono propriamente nessuna sequenza generatrice. La prima parte consiste nello studio delle sequenze generatrici minimali composte da elementi di un gruppo finito: innanzitutto vengono presentati risultati di esistenza di tali sequenze (Teorema di Tarski) e successivamente metodi computazionali, attraverso una costruzione teorica dedotta dalla nota funzione di Moebius, che fornisce una formula per il calcolo esplicito del numero di sequenze; tale formula viene poi applicata ai gruppi finiti noti (il gruppo simmetrico, il gruppo diedrale, il gruppo ciclico, etc.) e, quando necessario, viene utilizzato il noto programma di implementazione GAP. Successivamente, vengono studiate le sequenze minimali generatrici composte da sottogruppi di un gruppo finito, confrontando i risultati con quelli ottenuti nella parte precedente. In particolare, si generalizzano sia il Teorema di Tarski (sotto opportune ipotesi, riportando poi eventuali esempi e controesempi) e la formula per il calcolo del numero di sequenze.