Grafi che codificano proprietà dei gruppi profiniti

In this thesis, we aim to investigate the connectivity properties of some graphs that can be constructed starting from a profinite group G and a class of finite groups F closed under subgroups and direct products. We consider the graph whose vertices are elements of G and two vertices are adjacent if and only if they generate a group that is not a pro-F-group. We call non-F-graph of G the subgraph of the latter obtained by deleting the isolated vertices. The complement of the non-F-graph is called F-graph of G. In recent years many authors have been studying these graphs in the finite case and many interesting results have turned out. Since a profinite group is a topological group that is built out of finite groups and since many results can be extended from the finite to the profinite case, it makes sense to wonder about the connectivity of the non-F-graphs and F-graphs of profinite groups. For the non-F-graph things go pretty good: the connectivity of the graph in the finite case ensures the connectivity in the profinite case. Things are more complicated for the F-graph. Hence, firstly, we decide to have a look at the graph whose vertice are all non identical elements of the group, and two vertices are adjacent if and only if they generete a pro-F-group. Note that the F-graph is obtained from the latter by deleting the universal vertices (i.e. the ones connected to any other vertex). Also in this case there are some obstacles: the good behavior of finite quotients doesn’t imply the good behavior of the profinite group. This is the reason why we introduce the new concepts of weak and strong connectivity. The first does not imply the connectivity while the second does. Results in the finite case allow us to see that the pronilpotent graph is not always weakly connected. We’ve proved a surprising and not intuitive result: if the pronilpotent graph is weakly disconnected, then G is virtually pronilpotent. On the other side the prosolvable graph of a group turns out to be always weakly connected. We still don’t know an example of a profinite group whose prosolvable graph is not strongly connected, so it keeps to be an open problem. Anyway we have proved a remarkable result which seems to suggest the likely existence of a disconnected prosolvable graph.Let Sol(g) be the set of neighbors of the element g in the prosolvable graph plus the unit of the group. Sol(g) is a closed subset of G which contains the closure of the cyclic subgroup generated ̄. In the finite case the inclusion is always proper while in the profinite case there are some groups for which the equality is reached.

In questa tesi, lo scopo è quello di studiare le proprietà di connessione di alcuni grafi che possono essere costruiti partendo da un gruppo profinito G e una famiglia F di gruppi finiti chiusa per sottogruppi e prodotti diretti. Si considera il grafo i cui vertici sono tutti gli elementi di G e due vertici sono adiacenti se e solo se generano un gruppo che non è pro-F. Il sottografo ottenuto da quest’ultimo eliminando i vertici isolati e chiamato non-F-grafo di G. Il grafo complementare del non-F-grafo è chiamato F-grafo di G. Negli ultimi anni alcuni autori hanno studiato questi grafi nel caso finito e molti risultati interessanti sono stati teorizzati. Siccome un gruppo profinito è un gruppo topologico che è limite inverso di gruppi finiti, e siccome molti risultati possono essere estesi dal caso finito al caso profinito, ha senso domandarsi quali siano le proprietà del non-F-grafo e dell’F-grafo associati ad un gruppo profinito. Le cose vanno bene nel caso del non-F grafo: la connessione nel caso finito assicura la connessione anche nel caso profinito. La questione è più complicata per l’F-grafo. Dunque, in primo luogo, abbiamo deciso di investigare la connessione del grafo i cui vertici sono tutti gli elementi non identici del gruppo e due vertici sono adiacenti se e solo se generano un gruppo pro-F. Si noti che L’F-grafo può essere ottenuto a partire da quest’ultimo eliminando i vertici universali (ovvero quelli connessi ad ogni altro vertice). Anche in questo caso vengono trovati alcuni ostacoli: il buon comportamento dei quozienti finiti non implica il buon comportamento del gruppo. Questo è il motivo per cui vengono introdotte due nuove definizioni: quella di connessione debole e quella di connessione forte. La prima non implica la connessione mentre la seconda si. Risultati nel caso finito permettono di vedere che il grafo pronilpotente non è necessariamente sempre debolmente connesso. Abbiamo dimostrato un risultato sorprendente e poco intuitivo che si verifica in questo caso: se il grafo pronilpotente non è debolmente connesso allora il gruppo è virtualmente pronilpotente. Risulta invece che il grafo prorisolubile è sempre debolmente connesso. Non sono ancora noti esempi di grafo prorisolubile che non sia fortemente connesso, quindi l’esistenza di quest’ultimo rimane un problema aperto. Abbiamo però dimostrato un risultato notevole che sembrerebbe indicare la possibilità di avere un grafo prorisolubile sconnesso. Indichiamo con Sol(g) l’insieme dei vicini di g nel grafo a cui aggiungiamo l’identità. Sol(g) risulta essere un sottoinsieme chiuso contenente la chiusura del gruppo ciclico generato da g. Nel caso finito l’inclusione è propria mentre nel caso profinito ci sono alcuni gruppi per cui l’uguaglianza viene raggiunta.