Implementazione del metodo GMRes precondizionato per la soluzione di sistemi lineari e applicazione alla meccanica di mezzi fratturati

Il metodo GMRes (Generalized Minimal Residual Method) è un metodo iterativo per la soluzione numerica di sistemi lineari non simmetrici, basato sulla minimizzazione della norma-2 del vettore residuo in un sottospazio di Krylov. Il problema che il metodo si propone di risolvere consiste nel partire da uno spazio di Krylov di dimensione 1 e aumentarne la dimensione di una unità ad ogni iterazione. Si viene a costruire una successione di vettori che va a convergere ad una soluzione h. Il metodo viene solitamente combinato con un metodo di precondizionamento opportuno per accelerarne la convergenza. Il precondizionamento consiste nel trasformare il sistema originale in un sistema equivalente in cui il numero di condizionamento spettrale della matrice sia di molto inferiore rispetto alla matrice di partenza, ciò consente di giungere alla soluzione in un numero di iterazioni significativamente minore. Nella presente tesi si realizza l’implementazione in MATLAB del metodo precondizionato e ne viene testato il funzionamento mediante alcune applicazioni che scaturiscono dalla discretizzazione ad elementi finiti di problemi di meccanica di mezzi fratturati.