Stima del gradiente per soluzioni dell'equazione delle superfici minime

Il lavoro introduce le superfici minime dal punto di vista geometrico-differenziale, per poi illustrare le proprietà di minimizzazione dell'area ad esse collegate. In seguito si passa allo studio dei grafici minimali, per cui viene dimostrata la stima del gradiente utilizzando tecniche di analisi reale e teoria della misura e la sostituzione di opportune funzioni test in equazioni differenziali. E' stata inserita anche una sezione sugli operatori differenziali tangenziali, per poi arrivare alla dimostrazione della disuguaglianza del valor medio per funzioni subarmoniche, punto di partenza per la dimostrazione della stima del gradiente. Il risultato fu dimostrato per la prima volta da Bombieri, De Giorgi e Miranda nel 1968, mentre la dimostrazione presentata riprende un lavoro di Trudinger del 1972. Una possibile applicazione del teorema si ritrova nell'estensione del teorema di Bernstein, che afferma per n minore o uguale a 7 che gli unici grafici minimali di funzioni definite su tutto lo spazio reale n-dimensionale sono gli iperpiani affini.