La percolazione: un modello per la transizione di fase

La teoria della percolazione nasce nel 1957 come modello microscopico per catturare qualitativamente il fenomeno della transizione di fase. La teoria descrive il comportamento di un reticolo quando vengono rimossi nodi o collegamenti con una certa probabilità, e di fondamentale interesse sono le taglie delle componenti connesse. Nel primo capitolo si tratterà della costruzione del modello e dell'introduzione della probabilità critica, per la quale si dimostrerà che, per valori della probabilità inferiori, le componenti connesse hanno tutte taglia finita, mentre per valori superiori esiste, con probabilità 1, una componente connessa infinita. Verranno introdotte anche delle importanti disuguaglianze, tra cui la disuguaglianza di FKG e di BK, per trovare risultati più precisi sulle componenti connesse. Verranno discusse le domande più importanti, tra cui la dimensione media dei cluster e l’unicità del cluster aperto infinito, e verranno brevemente trattati la 'Percolazione di sito' e i reticoli duali. Infine, si dimostrerà che nel caso del reticolo quadrato piano, il valore critico è calcolabile ed equivale a 1/2.