Il Teorema di Kronecker - Weber

Il Teorema di Kronecker – Weber afferma che ogni estensione abeliana del campo dei numeri razionali è contenuta in un’estensione ciclotomica. Ne vedremo una dimostrazione usando gli strumenti base della “class field theory”, il ramo della teoria algebrica dei numeri che studia le estensioni di campi abeliane: gruppi di decomposizione e di inerzia, automorfismo di Frobenius, mappa di Artin, Teorema di reciprocità di Artin per le estensioni abeliane. Premetteremo alcuni argomenti preliminari necessari di algebra commutativa e teoria algebrica dei numeri: domini di Dedekind, ideali frazionari, fattorizzazione degli ideali nei domini di Dedekind; campi di numeri algebrici (“algebraic number fields”), anelli di interi algebrici, fattorizzazione degli ideali nelle estensioni; valutazioni su campi numerici, cenni ai completamenti rispetto a valutazioni archimedee e non archimedee; posti ("places" o "primes") di un’estensione algebrica finita dei razionali (classi di equivalenza di valutazioni).