Processi di Markov via circuiti elettrici e passeggiate aleatorie

Scopo della tesi è introdurre le catene di Markov , processi stocastici di rilevanza notevole, e fornirne una descrizione utilizzando la teoria classica dei circuiti elettrici. Suddetta tecnica verrà poi utilizzata per dimostrare il ragguardevole teorema di Polya; il quale afferma che la passeggiata aleatoria semplice e simmetrica in dimensione d è ricorrente per d = 1,2 e non ricorrente per d >= 3. La tesi è tripartita e ad ogni sezione corrisponde un macroargomento. Nella prima sezione viene presentata la teoria generale dei processi di Markov a tempo discreto. Vengono introdotte le definzioni principali, le matrici notevoli, viene risolto il problema della ricorrenza e si accenna ai concetti di misura invariante e di processo reversibile; viene inoltre dedicato un paragrafo all'importante nozione di tempo di arresto. Nella seconda sezione vengono richiamate alcuni rudimenti di teoria dei circuiti con i quali poi si procede alla modellizzazione delle catene di Markov, ad ogni componente della rete elettrica si attribuisce un preciso significato probabilistico. Nella terza sezione viene dimostrato il teorema di Polya. La tesi è un esempio chiaro di caso in cui la fisica viene in aiuto alla matematica fornendo modelli intuitivi per la risoluzione di problemi astratti, inoltre l'eleganza del modello e la praticità che lo contraddistingue rende le reti elettriche un insostituibile paradigma per lo studio delle passeggiate aleatorie e , più in generale, dei processi di Markov.