The concentration-compactness method in L2 and its application to the Hartree equation with L3/2, ∞ convolutional potential

We review the concentration-compactness method and the profile decomposition in Sobolev spaces, which allow to study and analyse lack of compactness of (minimizing) sequences in these spaces. We then apply these tools to prove that the Hartree energy functional without external potential and with L3/2,∞ convolutional potential admits a minimizer with large L2 mass. Finally, we apply some classical spectral analysis tools to prove basic properties (positivity and smoothness) of the minimizer.

Studiamo il metodo di concentrazione-compattezza e la decomposizione di profili negli spazi di Sobolev, che ci permettono di studiare e analizzare la mancanza di compattezza di successioni (minimizzanti) in tali spazi. Poi, applichiamo questi strumenti per dimostrare che il funzionale energetico di Hartree senza potenziale esterno e con potenziale convoluzionale in L3/2,∞ ammette un minimizzante con massa L2 grande. Infine, applichiamo strumenti classici di teoria spettrale per dimostrare alcune proprietà (positività e regolarità) del minimizzante.