Physics-informed neural networks: potential and limitations of a new approach to computational electromagnetism

The goal of this thesis is to analyze the possible applications of artificial neural networks, in particular the so-called "Physics-informed neural networks" (PINN), a type of artificial neural networks that exploits the knowledge of the physical laws to overcome the lack of data and speed up the training process, in the field of computational electromagnetism, developing a code that uses PINNs to solve electromagnetic problems described by partial differential equations, in particular 1D and 2D electrostatic problems. An example, taken from the Mathworks® website, is proposed. In this example a PINN is used to solve the Poisson’s problem on a unit disk. From this example, we start the development of aMATLAB algorithm that is able to solve the electrostatic problem of the parallel plate capacitor, in various configurations: 1D with homogeneous permittivity, 1D with non-homogeneous permittivity, 2D with non-homogeneous permittivity. The results are then compared to the analytical or FEM solutions of the same problems. The final result is a MATLAB code that can be used to solve the parallel-plate capacitor problem in the aforementioned configurations and provides solutions with accuracy comparable to those obtained via the finite element method. The limitations that characterize this type of algorithms and limit their application to more complex problems are also analyzed.

Questa tesi si propone di analizzare le possibili applicazioni delle reti neurali artificiali, in particolare delle cosiddette "Physics-informed neural networks" (PINN), un tipo di reti neurali artificiali che sfrutta la conoscenza delle leggi fisiche per fronteggiare la mancanza di dati e accelerare il processo di "training", nell’ambito dell’elettromagnetismo computazionale, sviluppando un codice che utilizzi le PINN per risolvere problemi elettromagnetici, in particolare problemi elettrostatici 1D e 2D. Viene proposto un esempio, preso dal sito di Mathworks®, nel quale si risolve l’equazione di Poisson in un dominio di forma circolare, impiegando una rete neurale artificiale. A partire dal codice visto nell’esempio, inizia poi il lavoro di sviluppo di un algoritmo MATLAB che sia in grado di risolvere il problema elettrostatico del condensatore piano, in varie configurazioni: 1D con permittività omogenea, 1D con permittività non omogenea, 2D con permittività non omogenea. I risultati sono poi confrontati con le soluzioni degli stessi problemi ottenute per via analitica o tramite un codice FEM. Il risultato finale è un codice MATLAB utilizzabile per risolvere il problema elettrostatico del condensatore piano nelle configurazioni sopra elencate e che fornisce soluzioni la cui accuratezza è comparabile a quella delle soluzioni ottenute tramite il metodo degli elementi finiti. Sono inoltre analizzate le limitazioni che caratterizzano questo tipo di algoritmi e che ne ostacolano l’applicazione a problemi più complessi.