Iperinterpolazione ibrida su domini multivariati

In questo lavoro si discutono alcuni tipi di iperinterpolazione su domini Ω di tipo poligonale. L’iperinterpolazione è un concetto introdotto nel 1995 da Ian Sloan, in cui si intende approssimare una funzione f ∈ C(Ω) tramite un polinomio pL ∈ PL mediante minimi-quadrati discreti, costruiti con una formula di quadratura con grado di precisione 2L. Nel valutare i coefficienti di Fourier di f , rispetto a una base ortonormale di PL, l’autore considera una formula a pesi positivi e nodi interni. Inoltre, mostrando che con questa scelta si ha la convergenza in norma 2, sottolinea come talora l’iperinterpolante coincida con una interpolante. Uno degli aspetti caratteristici è la necessità di una base polinomiale ortonormale, che per molti classici domini quale intervallo, disco, quadrato, triangolo, cubo, sfera, è nota esplicitamente. Nei domini trattati in questa tesi la questione risulta più complessa in quanto tanto le formule di cubatura quanto le basi ortonormali vengono calcolate numericamente. Nei primi due approcci introdotti (classico e filtrato), le iperinterpolanti a grado N risultano proiezioni su spazi polinomiali, rispettivamente di polinomi di grado totale L e ⌊ L/2 ⌋. Questo non avviene per l’iperinterpolante di Lasso e ibrido. Nonostante questo, il vantaggio di quest’ultimo risulta evidente qualora i campionamenti della funzione f nei nodi di cubatura siano soggetti a un rumore non trascurabile. Esperimenti numerici sottolineano tutto ciò con test in classici domini come quelli sopra menzionati. In questo lavoro consideriamo l’applicazione di varie iperinterpolanti, co- me la classica, la filtrata, la Lasso e la ibrida, a un dominio convesso, concavo e non semplice. Come anticipato, in mancanza di una esplicita base triangolare ed orto- normale, questa viene calcolata numericamente. Per quanto concerne la cubatura numerica, necessaria al calcolo dell’ipe- rinterpolante, utilizzamo un approccio senza compressione. Nella sezione numerica, abbiamo verificato numericamente le proprietà di proiezione sullo spazio dei polinomi di grado L di quella classica e filtrata (utilizzando una formula di cubatura con grado di precisione 2L) e successi- vamente mostrato che in assenza di rumore è da preferirsi l’iperinterpolazione classica mentre, in presenza di rumore gaussiano o impulsivo, quella di tipo ibrida è un ottimo compromesso tra sparsità dei coefficienti del polinomio iperinterpolatore e ricostruzione della funzione. Gli esperimenti numerici sono stati eseguiti in Matlab (versione "R2022b").